PDB Orde Satu

PDB LINEAR ORDE SATU

Silfanus Jelatu

Sebelum membahas persamaan diferensial orde tinggi, akan dibahas terlebih dahulu persamaan diferensial orde 1. Bentuk Sederhana Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah :

Untuk f adalah suatu fungsi dua variable. Fungsi yang didiferensiabel  yang memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai t dalam suatu interval dikatakan solusi dari persamaan diatas. Pembahasan dalam bagian ini berkaitan dengan penentuan fungsi tersebut jika ada dan jika ada bagaimana pula metode yang digunakan untuk menentukannya.

Dalam sesi ini dan seterusnnya diasumsikan bahwa fungsi f(t,y) bergantung secara linear pada variable terikat y. untuk kasus ini persaman diatas dapat pula ditulis sebagai persamaan diferensal linear orde pertama seperti yang akan dibahas berikut ini.

A.    PD LINEAR KOEFISIEN KONSTAN

Dalam pembahasan sebelumnya kita telah membahas persamaan linear orde satu dimana koefisiennya adalah konstanta. Sebuah contoh sederhana adalah sebagai berikut

                                                                       (1)

dimana a dan b adalah konstanta. Sekarang kita akan mempertimbangkan bentuk umum persamaan linear orde pertama, yang diperoleh dengan mengganti koefisien a
dan b dalam Pers. (1) dengan fungsi dalam t. Kita biasanya akan menulis bentuk umum persamaan linear orde pertama sebagai:

                                                                   (2)

di mana p dan g diberikan fungsi dari variabel independen t.

Persamaan (1) dapat diselesaikan dengan metode integrasi langsung yang telah diperkenalkan sebelumnya. Artinya, kita menulis ulang persamaan menjadi:

                                                                                                                    (3)

Kemudian, dengan integrasi kita memperoleh

                                       

Sehingga solusi umum dari persamaan. (2) adalah

                                                       (4)

di mana c adalah konstanta sembarang. Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = 3, maka Persamaan. (2) menjadi

                                                               (5)

dan solusi umum adalah

                                                                (6)

Namun,  metode ini tidak dapat digunakan untuk memecahkan persamaan umum (2), sehingga kita perlu menggunakan metode yang berbeda untuk mencari solusinya. Metode tersebut adalah mengalikan PDnya dengan fungsi tertentu katakan , sehingga persamaan yang dihasilkan mudah terintegral. Fungsi  disebut faktor integrasi dan kesulitan utamanya ialah bagaimana menemukannya.

Contoh 1:

Selesaikan PD berikut:

dengan menemukan factor integrasinya.

Langkah pertama adalah dengan memgalikan PDnya dengan fungsi , yang belum ditentukan; sehingga persamaannya menjadi:

                                                (8)

Untuk menentukan faktor integrasi , amati sisi kiri Persamaan (8). Persamaan diferensial dapat ditulis sebagai

Jadi, kita coba untuk menentukan sehingga sisi kiri (8) menjadi turunan dari bentuk .

Ingat bahwa

Sehingga:
                                                           (9)

Akibatnya:

                                                                  (10)  

Oleh karena itu faktor integrasi akan berhasil dicari jika kita dapat menemukan solusi dari Persamaan. (10).

Dengan menulis ulang Persamaan. (10) sebagai:

Integralkan menjadi:

                                                                        (11)

Fungsi diberikan oleh Persamaan. (11) adalah faktor integrasi untuk Eq. (6).

Karena kita tidak membutuhkan faktor integrasi paling umum, maka cukup  menggunakan .

Sekarang kita kembali ke persamaan. (6), kalikan dengan faktor integrasi , dan memperoleh:

                                                     (12)

Dengan cara yang sama, sisi kiri persamaan (12) adalah turunan dari , sehingga Persamaan. (12) menjadi

                                                         (13)

Dengan mengintegrasikan kedua sisi persamaan (13) kita memperoleh

                                                             (14)

di mana c adalah konstanta sembarang.

Akhirnya, dengan memecahkan Persamaan. (14) terhadap y, kita akan memiliki solusi umum pers. (6), yaitu,

                                                                 (15)

Tentu saja, solusi (15) sama dengan solusi (7) yang ditemukan sebelumnya

Sekarang kita telah menunjukkan bagaimana metode faktor integrasi dapat dipakai untuk contoh sederhana. Sekarang kita akan memperluasnya pada persamaan-persamaan yang lain.

Kita akan melakukan ini dalam tiga tahap.

Pertama, pertimbangkan lagi Persamaan (2), yang sekarang kita tulis dalam bentuk

Derivasi dalam Contoh 1 sekarang dapat diulang, satu-satunya perubahan adalah bahwa koefisien 2 dan 3 di Persamaan. (6) diganti dengan masing-masing a dan b. Faktor integrasinya adalah  dan solusi yang diberikan oleh Persamaan (4), sama dengan Persamaan (15) dengan 2 digantikan oleh a dan 3 diganti b.

Tahap berikutnya adalah menggantikan konstan b oleh suatu fungsi , sehingga persamaan diferensial menjadi:

                                            (16)

Faktor integrasi hanya bergantung pada koefisien dari y. jadi untuk Eq (16) faktor integrasinya  sekali lagi adalah

Dengan mengalikan Persamaan. (16) oleh , kita memperoleh:

Atau

                                         (17)

Dengan mengintegrasikan kedua sisi persamaan. (17) kita temukan bahwa

                                            (18)

di mana c adalah konstanta sembarang. Dengan memecahkan Persamaan. (18) terhadap y kita memperoleh solusi umum

                             (19)

Contoh

Selesaikan PD berikut:

                                                             (20)

dapati solusi tertentu yang grafiknya mengandung titik (0, 2).

Dalam hal ini a = 1/2, sehingga faktor integrasinya adalah

Mengalikan Persamaan. (20) oleh faktor ini mengarah ke persamaan

                                               (21)

Dengan mengintegrasikan kedua sisi persamaan. (21), kita memperoleh:

di mana c adalah konstanta sembarang. Sehingga :

                                                              (22)

Untuk menemukan solusi yang melewati titik awal (0, 2), kita menetapkan t = 0 dan

y = 2 dalam Pers. (22), dengan hasil bahwa 2 = 0 + c, sehingga c = 2. Oleh karena itu solusi yang diinginkan adalah

                          

Conntoh 3

Selesaikan PD berikut:

                                                     (23)

Karena koefisien dari y adalah -2, maka factor integrasi untuk Eq. (23) adalah  Mengalikan PDnya dengan , kita memperoleh:

                                                         (24)

Kemudian, dengan mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini, kita memiliki

di mana kita telah mengintegralkan bagian demi bagian di Persamaan. (24). Jadi solusi umum dari persamaan. (23) adalah

.

Contoh 2 dan 3 adalah kasus khusus dari persamaan. (16),

solusi yang diberikan oleh Persamaan (19),

                  

Tahap final dalam memperluas metode faktor integrasi adalah untuk bentuk umum Persamaan  (2),

di mana p dan g adalah fungsi diberikan. Jika kita mengalikan Persamaan. (2) oleh fungsi yang belum ditentukan, maka  kita memperoleh

                           (25)

Mengikuti cara yang sama seperti dalam Contoh 1, kita melihat bahwa sisi kiri Eq. (25) adalah turunan dari ,

Akibatnya:

                                                             (26)

Jika kita berasumsi sementara bahwa adalah positif, maka kita memperoleh:

dan akibatnya

Dengan memilih konstanta k sembarang menjadi nol, kita mendapatkan fungsi yang sederhana mungkin untuk μ, yaitu,

                                                            (27)

Perhatikan bahwa adalah positif untuk semua t, seperti yang kita asumsikan. Kembali ke Eq. (25), kita memiliki

.                                             (28)

Karenanya

sehingga solusi umum dari persamaan. (3) adalah

                                               . (29)

Contoh:

Selesaikan PD berikut:

Ubah bentuk PD dalam bentuk persamaan (3), maka kita memiliki

                                                                          (30)

sehingga . Untuk menyelesaikan Eq. (30), pertama-tama tentukan faktor integrasi , sehingga diperoleh:

                                                   (31)

Dengan mengalikan Persamaan oleh

Maka diperoleh:

dan maka dari itu

.

di mana c adalah konstanta sembarang. Oleh karena itu

                                                                     (32)

adalah solusi umum dari PD  . Untuk memenuhi kondisi awal itu,  perlu untuk memilih c = 1; sehingga diperoleh:

                                                                    (33)

Persamaan (33) merupakan solusi dari PD , yang memenuhi kondisi awal

latihan soal:

1.      Buktikan bahwa solusi dari persamaan diferensial  adalah

2.     

3.     

4.     

5.     

B.     PERSAMAAN DIFERENSIAL PEUBAH TERPISAH

Banyak persamaan diferensial yang bisa diubah menjadi bentuk  yang disebut  dengan Persamaan diferensial Peubah Terpisah, yaitu variable-variabel bebas yang terlibat saling dipisahkan.

Contoh:

1.     

2.     

3.     

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial peubah terpisah? Dengan integral kita bias meyelesaikannya.

Contoh

1.    Solusi dari adalah:

2.    Solusi dari adalah:

3.    Solusi dari ; y(0)=1 adalah:

Karena y(0)=1 maka  

Jadi solusi dari PD diatas adalah

Atau

     latihan soal:

1.          

2.        

3.        

4.        

5.        

6.        

7.         temukan solusi umum dari persamaan diferensial :  . Tentukan solusi khusus yang memenuhi : x(0) = 5

Sumber:

William E. Boyce & Richard C. DiPrima. 2001. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems